基于黏性比例因子的錐形流量計最優(yōu)錐角選擇

錐形流量計的錐角參數是影響錐形流量計性能的重要參數，錐體前錐角和后錐角均有較大的取值范圍，這造成供選擇的錐角組合無(wú)限多。通過(guò)實(shí)驗和傳統的CFD仿真優(yōu)化錐形流量計錐角工作量大，效率低。研究證明了錐角的變化引起的下游取壓位置處的壓力波動(dòng)會(huì )導致錐形流量計流出系數的改變。根據流體力學(xué)本構方程理論定義了評價(jià)黏性應力對壓力波動(dòng)影響的黏性應力比例因子k1和k2，并得到結論：任一錐角組合錐形流量計下游取壓位置處黏性比例因子k1和k2越大，錐形流量計的壓力信號受到的干擾越大，對應的流出系數重復性和線(xiàn)性度誤差越差，在低入口雷諾數狀態(tài)下這種干擾尤為明顯�；�于黏性比例因子的具有不同錐角組合錐形流量計的性能預測結論是：β值在0.45～0.75的錐形流量計，前錐角為27.5°±2.5°，后錐角為65°±5°時(shí)錐形流量計的流出系數重復性和線(xiàn)性度誤差好于其他的錐角組合。實(shí)驗測試DN100口徑，β值分別為0.45，0.5和0.65的9個(gè)不同錐角組合的錐形流量計，實(shí)驗結論證明了基于黏性應力比例因子的錐形流量計錐角組合預測的準確性。

1 引言

差壓流量計是工業(yè)過(guò)程控制過(guò)程中最常用的流量?jì)x表。ISO5167中的孔板、噴嘴、標準文丘里管無(wú)法滿(mǎn)足所有的工況條件，錐形流量計是一個(gè)有益的補充。

隨著(zhù)錐形流量計的廣泛應用，眾多學(xué)者研究了不同安裝條件錐形流量計所需的上下游直管段的要求。

錐形流量計的錐體由前、后錐臺組成，錐形流量計的重要的結構參數包括測量管內徑D、等效直徑比β值、前錐角θ1和后錐角θ2。研究成果顯示，錐形流量計的錐角組合對其流出系數具有較大的影響，所以亟需研究一種選擇前后錐角組合的方法。徐英等人針對100mm口徑，設計了β值分別為0.5、0.65、0.85，前錐角分別為20°、22.5°、25°，后錐角分別為60°、65°、70°，共27種組合的錐形流量計利用仿真和實(shí)驗的方法研究得出前錐角22.5°和后錐角60°的錐角組合對應的流量計線(xiàn)性度誤差更��；BorkarK等人通過(guò)對比前錐角分別為15°和22.5°的Wafer形式錐形流量計的流出系數不確定度，認為15°前錐角的錐形流量計具有更好的性能；譚超等人基于3DCFD流場(chǎng)分析提出長(cháng)腰錐形流量計的前后錐角均為22.5°的錐角組合具有更小的線(xiàn)性度誤差。

錐角的研究成果固然豐富但是依然存在問(wèn)題：1）理論上錐角組合是無(wú)限多，目前研究的前后錐角取值太少，形不成規律性的結論；2）涉及的β值范圍較小，沒(méi)有涵蓋0.45～0.75的主流β值范圍。錐形流量計國際標準ISO5167-5的草案正在制定，前后錐角組合的選擇依然缺少合理的依據和方法。

錐形流量計尾流流場(chǎng)是流動(dòng)狀態(tài)極為復雜，湍流強度較大的區域，尾流的壓力變化是影響錐形流量計性能參數的主要因素。利用節流件下游流場(chǎng)的規律優(yōu)化錐形流量計結構的方法更為科學(xué)，得到的結論更具規律性和普適性。而利用流場(chǎng)分析優(yōu)化錐角組合，尋找或者定義相關(guān)的優(yōu)化因子必不可少。本文通過(guò)分析引入黏性比例因子k1和k2，以其為優(yōu)化因子系統的分析得到對應較好性能的錐角組合。尋找一種高效的錐角分析方法有助于錐形流量計國際標準ISO5167-5的制定，一個(gè)成型的標準又能繼續拓展錐形流量計的應用范圍。

2 錐形流量計的原理

2.1 錐形流量計的幾何結構

錐形流量計是由測量圓管、錐體組成的差壓裝置，如圖1所示。

圖1 錐形流量計的幾何輪廓圖

錐形流量計體積流量計算公式如式（1）所示：

    （1）

式中：Cd流出系數；D測量管內徑，m；Δp差壓，Pa；ρ節流件上游處流體的密度，kg/m³；ε被測介質(zhì)的可膨脹性系數，無(wú)量綱；β等效直徑比。

    （2）

式中：d錐體的最大橫截面直徑，m。

Δp=p1－p2

式中：p1錐體上游側壓力，Pa；p2錐體下游側壓力，Pa。

2.2 網(wǎng)格和CFD仿真參數設置

錐形流量計CFD仿真的模型按圖1所示的錐體結構繪制，首先以DN100口徑，β=0.65的錐體選擇合理的網(wǎng)格參數，包括：網(wǎng)格的數量、前后直管段長(cháng)度，網(wǎng)格的類(lèi)型。利用Gambit軟件劃分的三維網(wǎng)格模型，對錐體區域進(jìn)行細分，消除具有尖銳邊緣的區域，通過(guò)線(xiàn)網(wǎng)格使單元的尺寸從錐體區域向兩側逐漸增大。本次研究使用天津大學(xué)超算中心2個(gè)計算節點(diǎn)計算，計算資源共計64個(gè)CPU核心，256GB的RAM，經(jīng)過(guò)分析此情況下網(wǎng)格數量600萬(wàn)時(shí)可兼顧計算精度和計算成本。本次仿真使用商業(yè)仿真軟件Fluent13，仿真的雷諾數為6.97×10⁴～69.67×10⁴。在目前階段，RNG-kε模型是進(jìn)行錐形流量計仿真較為理想的湍流模型，因此它被用來(lái)進(jìn)行此項研究。管壁使用標準壁面函數進(jìn)行處理，粗糙度設置為2×10^-5，粗糙度常數為0.5，水溫設置為293K。

3 本構方程與錐形流量計流出系數的聯(lián)系

3.1 錐角變化在上下游壓力上的反映

錐角的變化可能造成錐體上下游流場(chǎng)的變化，為選擇受錐角影響較大的流場(chǎng)區域作為研究對象在此定義壓力系數隨錐角的變化率¶pcoff/¶θ，此參數越大表示該區域受錐角的影響更大。其中為壓力系數，選擇這一參量的有以下兩點(diǎn)原因：

1）錐形流量計的入口雷諾數是一個(gè)范圍而不是一個(gè)固定值；通過(guò)壓力系數可實(shí)現利用入口速度對壓力值的歸一化以消除入口雷諾數不同對壓力的影響。

2）p_coff是聯(lián)系錐形流量計流出系數和流場(chǎng)參量的橋梁；在測量不可壓縮流體時(shí)，錐形流量計的流出系數計算公式（2）可化簡(jiǎn)為式（3）。其中p1為上游壓力，p2為下游壓力，A₀為僅與β值相關(guān)的常數。

    （3）

將上下游壓力分別用上下游壓力系數p1coff和p2coff代替，則式（3）可化簡(jiǎn)成式（4）所示形式。從式（4）可見(jiàn)，錐形流量計流出系數C直接受壓力系數的影響。

    （4）

不同錐角組合錐形流量計的上下游壓力系數及其隨錐角的變化率如表1、2所示，表中的系數均通過(guò)仿真數據計算得出，入口雷諾數范圍6.97×10⁴～69.67×10⁴。

表1 上下游壓力系數隨前錐角θ1的變化

表2 上下游壓力系數隨后錐角θ2的變化

數據顯示的更大，這說(shuō)明錐角的變化對下游取壓位置處的壓力場(chǎng)影響更大，可得到結論：在預測錐形流量計錐角組合的過(guò)程中應該選擇錐形流量計下游的流場(chǎng)區域為研究對象。

3.2 錐形流量計下游壓力及干擾

作用在流體上的力分為表面力和質(zhì)量力2類(lèi)。在封閉的管道中，流體所受的質(zhì)量力僅為重力，對于水平管道中的流體，重力通�？梢院雎�。

如圖2所示，作用于錐形流量計下游取壓位置的壓力p2就是一種表面力。p2除了有n向分量（法向分量）p2n外，還有面元上的切向分量p2τ。對于所有流體，表面力可通過(guò)如式（5）所示的本構方程計算得到。

P2=2μS+{－p+λdivv}I    （5）

式中：－p表示內部均勻、滿(mǎn)足熱力學(xué)平衡的流體微團所受的壓力，即靜壓力。對于運動(dòng)的真實(shí)流體，受到黏性力的影響，局部平衡狀態(tài)下的靜壓力并不是真實(shí)存在的物理量，而僅是一個(gè)數學(xué)形式。μ為流體的動(dòng)力黏度系數；λ為流體膨脹黏度系數，也稱(chēng)第二黏度系數，斯托克斯假設λ=－2μ/3；I為三階單位矩陣；S為應變率張量，將在下面介紹。

圖2 作用于錐體下游取壓面的表面力

對于不可壓縮流體，根據連續性方程可將式（5）化簡(jiǎn)為式（6）。靜壓力在法向平面上的分布均勻，而流體黏性力的存在會(huì )破壞流體靜壓的均勻分布狀態(tài)；同時(shí)黏性力因錐角和入口雷諾數的變化造成的波動(dòng)是無(wú)規律的，這導致壓力分布規律受到干擾。壓力隨入口雷諾數無(wú)規律的變化會(huì )導致測量入口雷諾數范圍內的錐形流量計流出系數線(xiàn)性度誤差增大，所以流體的黏性力將對錐形流量計的下游壓力產(chǎn)生干擾。

P=2μS－pI    （6）

綜上可以得結論：錐形流量計的壓力屬于流體表面力的一種；對于具有黏性的不可壓縮流體，流體的黏性力2μS是對流體下游壓力的主要干擾項。

4 基于黏性應力比例因子的錐角優(yōu)化

4.1 錐形流量計的性能評價(jià)指標

本次研究用錐形流量計流出系數線(xiàn)性度誤差和重復性作為性能評價(jià)指標。線(xiàn)性度誤差δl是衡量錐形流量計精度的重要參數，可通過(guò)式（7）計算得到：

    （7）

    （8）

式中：i為標定的不同流量點(diǎn)，i不小于5次；j為標定次數，1～3；C_dimax和Cd_imin分別表示i個(gè)標定的流量點(diǎn)對應流出系數的最大值和最小值。

錐形流量計流出系數的重復性Sc，代表同一個(gè)流量點(diǎn)多次測量所得流出系數的穩定程度，使用式（9）計算：

    （9）

式中：C_dj表示同一個(gè)流量點(diǎn)第j次測量的測得值；j為標定次數，1～3；表示對一個(gè)流量點(diǎn)進(jìn)行j次測量的算數平均值。

4.2 黏性應力比例因子與流量計性能評價(jià)指標的聯(lián)系

由于3.2節的分析可知，黏性力2μS是壓力的干擾項，因μ僅與流體介質(zhì)相關(guān)，所以應變率張量S是引起干擾的主要原因，它來(lái)自質(zhì)點(diǎn)速度各個(gè)方向上導數組成矩陣的分解，如式（10）所示：

    （10）

式中：

為應變率張量矩陣，

 為旋轉張量矩陣。

基于流體黏性干擾2μS，定義黏性應力的比例因子k1和k2，其數學(xué)表達式如式（11）和式（12）所示。

    （11）

    （12）

比例因子k1是流體的黏性力與靜壓的比值，此值越大表示黏性力產(chǎn)生的干擾越大；比例因子k2即應變率張量S的模與旋轉張量A模的比值，因為應變率張量更多的轉化為黏性應力的干擾，k2越大說(shuō)明流體質(zhì)點(diǎn)的運動(dòng)更多的轉化為對錐形流量計壓力的干擾。

前錐角θ1為15°～90°，后錐角θ2為90°的錐形流量計對應的參數k1隨入口雷諾數變化曲線(xiàn)如圖3所示，隨著(zhù)入口雷諾數升高錐形流量計的黏性應力影響逐漸減小，同時(shí)差壓變送器在測量小的差壓信號時(shí)更容易受到黏性力擾動(dòng)的影響。因此，低入口雷諾數下錐形流量計的流出系數受到流體黏性力的影響更大，根據式（9）可知，錐形流量計的流出系數在低雷諾數下的重復性較差；線(xiàn)性度誤差主要由低雷諾數下的流出系數與其他流出系數具有較大差異引起，如圖4所示。

圖3 k1隨入口雷諾數的變化

圖4 不同入口雷諾數錐形流量計的流出系數（DN100，β=0.5）

綜上所述，對任一錐角組合的錐形流量計，其下游取壓位置處的比例因子k1和k2值越大，那么此錐角組合對應的下游干擾越大；錐形流量計的性能參數上表示為低入口雷諾數下，流出系數重復性差，在整個(gè)測量范圍內具有較大的線(xiàn)性度誤差。所以可以通過(guò)k1和k2的大小預測不同錐角組合的性能參數。

4.3 前錐角的優(yōu)化

通過(guò)4.2節可知，低入口雷諾數狀態(tài)下的錐形流量計流出系數的重復性較差，并且此狀態(tài)下的流出系數值是影響整個(gè)測量范圍內流出系數線(xiàn)性度的主要因素。以DN100口徑，β值為0.65的錐形流量計為研究對象。固定θ2=90°，計算前錐角θ1在15°～90°變化時(shí)入口雷諾數為6.97×10⁴對應的黏性應力比例因子k1和k2，以此預測不同錐角組合錐形流量計的性能參數。

錐形流量計黏性應力的比例因子k1和k2隨前錐角的變化規律如圖5所示，圖中縱坐標分別表示k1和k2的值，橫坐標表示不同的前錐角θ1角度值。

圖5 黏性應力比例因子隨θ1的變化規律

仿真結果顯示DN100口徑，β=0.65的錐形流量計，當前錐角θ1為15°～90°，后錐角θ2=90°時(shí)，θ1=27.5°對應的下游取壓位置處的k1和k2值最小。根據k1，k2與δl，SC的對應關(guān)系預測：前錐角為27.5°的錐形流量計的下游壓力p2受到其他方面的表面力的干擾最小。

通過(guò)以上分析可以得到結論：DN100口徑，β=0.65的錐形流量計，當前錐角θ1=27.5°時(shí)，錐形流量計入口雷諾數6.97×10⁴對應的流出系數重復性較好；入口雷諾數在6.97×10⁴～69.67×10⁴時(shí)，具有較好的線(xiàn)性度誤差。

4.4 后錐角的優(yōu)化

固定前錐角為27.5°，利用CFD仿真的方法得到后錐角在15°～90°范圍內的多個(gè)錐形流量計的仿真數據。同樣選擇入口雷諾數為6.97×10⁴時(shí)具有不同后錐角的錐形流量計的仿真數據，計算得到后錐角為15°～90°時(shí)下游取壓位置處黏性應力比例因子k1和k2。

不同后錐角錐形流量計在入口雷諾數為6.97×10⁴時(shí)對應的黏性比例因子k1和k2的變化規律如圖6所示，圖中橫縱坐標的意義與圖5相同。

圖6 黏性應力比例因子隨θ2的變化規律

β=0.65，前錐角為27.5°的錐形流量計，65°的后錐角對應的下游取壓位置處黏性應力比例因子k1和k2值最小。根據對應關(guān)系預測，后錐角為65°的錐形流量計的下游壓力p2受到其他方面的表面力的干擾最小。

4.5 其他β值的錐角優(yōu)化結果

按照4.3節和4.4節的思路選取DN100口徑，β值分別為0.45、0.5、0.6和0.75的4個(gè)錐形流量計對應的前后錐角組合如表3所示。

表3 DN100口徑其他β值的前后錐角選擇結果

5 錐角優(yōu)化的實(shí)驗驗證

錐形流量計檢定步驟及注意事項符合錐形流量計中國國家標準的檢定要求。

5.1 水流量標準實(shí)驗裝置

本次實(shí)驗驗證利用天津大學(xué)流量實(shí)驗室的液體流量標準裝置（如圖7）完成。該裝置使用稱(chēng)重法檢定，其不確定度為0.05%，流量穩定性0.1%，流量范圍5L/h～300m³/h。選用橫河EJA110A差壓變送器進(jìn)行差壓測量，滿(mǎn)量程不確定度0.075%。

圖7 天津大學(xué)液體流量實(shí)驗標準裝置

5.2 用于實(shí)驗驗證的錐形流量計

為方便實(shí)驗，實(shí)驗使用可自由組合的錐體組件，如圖8所示。利用機加工多個(gè)具有不同前后錐角組合的錐體，錐體與流量計管體的懸臂梁通過(guò)螺紋連接。

圖8 用于實(shí)驗的錐形流量計

6 實(shí)驗結果分析

6.1 低雷諾數不同錐角錐形流量計流出系數重復性

徐英等人以V-Cone結構的錐形流量計為研究對象，得到前錐角22.5°后錐角60°的錐角組合具有較好的線(xiàn)性度誤差。有必要將此錐角組合與本次的研究成果進(jìn)行實(shí)驗比對，對應的是表4中序號為1、4、7的錐角組合。在比對過(guò)程中同樣選擇一個(gè)錐形流量計制造商常用的錐角組合作為對比項，對應的是表4中序號為2、5、8的錐角組合。選擇滿(mǎn)足差壓變送器精度的限制最小差壓值對應的入口雷諾數作為錐形流量計實(shí)驗驗證的下限值，實(shí)驗測試結果如表4所示。

表4 不同錐角組合錐形流量計流出系數的重復性

實(shí)驗數據顯示在低雷諾數下，基于黏性比例因子預測得到的錐角組合的錐形流量計比其他錐角組合具有更小的重復性誤差。

6.2 流出系數及其線(xiàn)性度誤差

表4中的錐形流量計流出系數隨入口雷諾數的變化規律如圖9所示，數據顯示，β為0.45、0.5和0.65的錐形流量計，具有最小流出系數線(xiàn)性度誤差的錐角組合分別是：θ1=25°，θ2=70°；θ1=25°，θ2=67.5°和θ1=25°，θ2=65°。本次研究提出一套系統的、高效的優(yōu)化錐角的方法，而不僅局限于對幾個(gè)特定的錐角組合的優(yōu)化�；�于黏性比例因子的錐角組合優(yōu)化的方法解決了錐角組合無(wú)限多的難題。實(shí)驗結果顯示，與現有的常用的錐角組合及徐英等人優(yōu)化得到的前錐角22.5°，后錐角60°的錐角組合相比，基于黏性比例因子優(yōu)化得到的錐角組合對應的流出系數線(xiàn)性度誤差最小。

實(shí)驗結果也證實(shí)了以下兩點(diǎn)結論：

1）在整個(gè)測量范圍內，低雷諾數時(shí)流出系數與均值的差距過(guò)大是造成錐形流量計流出系數的線(xiàn)性度誤差較大的原因。

2）與傳統的錐角研究成果相比，基于黏性比例因子的錐形流量計錐角預測的錐角組合具有更小的線(xiàn)性度誤差。

圖9 不同錐角的錐形流量計流出系數線(xiàn)性度的實(shí)驗結果

7 結論

本研究分析了上下游取壓位置處壓力系數隨錐角的變化率的大小，得到下游取壓位置處的黏性應力隨錐角組合變化出現的無(wú)規律的波動(dòng)是造成錐形流量計流出系數改變主要原因。根據流體力學(xué)的本構方程定義了黏性應力比例因子k1和k2，在錐形流量計下游取壓位置處k1和k2越大，錐形流量計的流出系數重復性和線(xiàn)性度誤差越差。

本研究通過(guò)比較不同錐角組合對應的黏性比例因子k1和k2，得到了β值0.45～0.75的錐形流量計錐角優(yōu)化結果θ1=27.5°±2.5°，后錐角θ2=65°±5°。實(shí)驗數據證明了基于黏性比例因子錐角優(yōu)化結果的準確性。

基于黏性比例因子錐角優(yōu)化方法可用于其他結構的錐形流量計，如長(cháng)腰結構、Wafer結構和插入結構錐形流量計錐角組合的分析，提升錐角組合分析的準確性、效率和普適性。

基于黏性比例因子錐角優(yōu)化方法為制定ISO5167-5錐形流量計國際標準提供了一種規定錐角組合的思路，同時(shí)提供了實(shí)驗數據，有利于整個(gè)錐形流量計行業(yè)的發(fā)展。