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基于函數插值的柯氏質(zhì)量流量計信號處理方法
0 引言
柯氏質(zhì)量流量計（CMF— Coriolis mass flowmeter），它是利用流體流過(guò)振動(dòng)管道時(shí)產(chǎn)生的柯里奧利（Cociolis）效應，對管道的兩端振動(dòng)的相位的影響來(lái)實(shí)現流體質(zhì)量流量的測量[1]。
目前，大多數的柯氏質(zhì)量流量計相位差的求取，都采用基于離散傅利葉變換（DFT）數字信號處理方式。對于這種方式來(lái)說(shuō)，如何保證信號的整周期采樣是影響其精度的關(guān)鍵所在。很多研究的重點(diǎn)都放在了如何確定當前信號的頻率這個(gè)問(wèn)題上，而沒(méi)有有效地解決整周期采樣的問(wèn)題。文獻[2]提出頻率粗測和細測的方法，并且用這個(gè)頻率去修改A/D轉換器下一次的采樣頻率，以實(shí)現整周期采樣；文獻[3-4]的方法，采用一段時(shí)間內頻率變化的平均值作為改變下一次采樣頻率的依據。不管這些方式對確定當前信號頻率的精度有多高，它們的實(shí)質(zhì)是一樣的，都是用當前信號的頻率，預測地修改下一次的采樣頻率。我們知道這對頻率變化的信號來(lái)說(shuō)，不可能實(shí)現信號的整周期采樣，尤其是對于頻率突變的信號（振動(dòng)管中有氣泡）來(lái)說(shuō)，這樣會(huì )引起較大的固有測量誤差。
本文給出了一種全新的方法，是在雙通道同步A/D轉換器（兩路信號同時(shí)進(jìn)行采樣）采樣頻率固定不變的情況下，不需要改變A/D轉換器的采樣頻率，利用軟件的方法實(shí)時(shí)獲得信號的頻率，并且根據這個(gè)頻率通過(guò)函數插值方式，對輸入信號序列進(jìn)行整周期采樣轉換。該方法在實(shí)驗中給出了極高的頻率及相位差的求取精度。
1 函數插值
在科學(xué)與工程計算中，常會(huì )碰到函數表達式未知的情況，僅知道該表達式的一些采樣點(diǎn)處的函數值，而又需要計算非采樣點(diǎn)的數據這類(lèi)問(wèn)題，此時(shí)希望建立該未知函數的一個(gè)便于計算的近似表達式。這就稱(chēng)為函數插值問(wèn)題。插值函數的種類(lèi)有很多，最簡(jiǎn)單的是線(xiàn)性插值，即用過(guò)相鄰兩個(gè)采樣點(diǎn)的直線(xiàn)來(lái)代替原函數f（x）。如圖1中a，b是兩個(gè)采樣點(diǎn)，坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），過(guò)a，b的曲線(xiàn)是原函數F（x），線(xiàn)性插值就是用過(guò)該兩點(diǎn)的直線(xiàn)L（x）來(lái)近似表示F（x）。
過(guò)a，b兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程可由兩點(diǎn)式寫(xiě)出：
其中 x1≤x≤x2 （1）
對于這個(gè)方程只要每給出一個(gè)x值，就可以求出一個(gè)y值。我們可以看出，用直線(xiàn)代替曲線(xiàn)會(huì )帶來(lái)誤差，但是只要采樣頻率足夠高，就可以使誤差忽略不計。關(guān)于其它類(lèi)型的插值方式可以具體見(jiàn)文獻[6]。
2 信號頻率的確定
雙通道同步A/D轉換器每次輸出的32位數據，包含該采樣時(shí)刻兩路信號的數字量（各占16位），對于每一路信號來(lái)說(shuō)，如果我們知道了在固定采樣頻率（Fs）下一個(gè)信號周期的采樣點(diǎn)數N，那么信號的周期為：N×Ts=N/Fs。我們知道如果采樣頻率不是信號頻率的整數倍的話(huà)，那么采樣點(diǎn)數N 也不可能包含整個(gè)信號周期。
由圖2中可以看出，采樣點(diǎn)a，b，c，d分別跨在信號過(guò)零點(diǎn)e，f的兩端，這就使得我們在用上述方法求解信號頻率時(shí)，會(huì )帶來(lái)較大的誤差。
因此，對于任意的輸入信號序列，我們作如下的搜索：
（2）
獲得符合條件的距離最近的i，j值，即它們表示信號一個(gè)周期兩端距離過(guò)零點(diǎn)最近的點(diǎn)（如圖2中a，c點(diǎn)），（括號內表示輸入信號反相的情況）。用N 表示：
N=j- i （3）
因此，只要我們能確定出信號一個(gè)周期的兩個(gè)過(guò)零點(diǎn)，那么，就可以準確地求解出信號的周期。根據數學(xué)知識我們知道，信號Asin（2πft+φ）在過(guò)零點(diǎn)附近近似一條直線(xiàn)，因此，可以用幾何方法確定出信號的過(guò)零點(diǎn)。對于圖2的信號，
假定a，b點(diǎn)的采樣值分別為ya，yb，那么就可以由下式
（4）
求解出 
，它表示過(guò)零點(diǎn)e相對采樣點(diǎn)a 的延遲時(shí)間。同理，可以求出過(guò)零點(diǎn)f 相對采樣點(diǎn)k的延遲時(shí)間 
。
那么信號周期就可以表示為：
T=N×Ts+ 
- 
（5）
3 采樣頻率的整周期轉換
根據文獻[6]對正弦波采樣時(shí)，每個(gè)周期至少采樣3個(gè)點(diǎn)，采樣頻率應是信號頻率的整數倍數 ，否則會(huì )產(chǎn)生較大的頻譜泄漏。又因為要采用快速傅里葉算法，則必須保證采樣點(diǎn)數是2的整數次冪（本文每周期采樣128次）。
本文使用一個(gè)較高的固定采樣頻率（本文用10kHz）對兩路信號進(jìn)行采樣，由于不是信號的整數倍采樣，所以先要通過(guò)函數插值的方法，重新得到信號的整數倍采樣數據。
具體的做法是，首先根據式（2）~（5）計算出信號的周期，接著(zhù)相信號的這個(gè)周期128等分，這128個(gè)等分點(diǎn)便是整周期采樣需要得到數據的采樣時(shí)刻；然后使用線(xiàn)性插值的方法，得到這些整數倍采樣時(shí)刻的數據。
假設我們確定出了圖2中的信號周期為T(mén)，那么整周期采樣時(shí)的采樣周期為：
t's=T/128
為了不引入初始相位，整周期重新采樣時(shí)刻必須從過(guò)零點(diǎn)開(kāi)始（如圖2中e點(diǎn)），以t's為步長(cháng)。因此：
t's=
+i×t's，i=0，1，…，127 （6）
其中
表示如圖2中的過(guò)零點(diǎn)相對于a點(diǎn)的時(shí)間延遲，這由上面已經(jīng)求出。
我們知道，進(jìn)行相位差求取時(shí)，必須從同一時(shí)刻對兩路信號分別進(jìn)行相位求�。ㄈ鐖D3中a，c點(diǎn)），因此，在采樣頻率的整周期轉換時(shí)，也必須從同一時(shí)刻開(kāi)始對兩路信號采樣頻率進(jìn)行整周期的轉換。為此，采用如下的方法：
對于采樣得到的信號序列使用式（2）~（5），先確定出信號的準確周期。
接著(zhù)，必須從同一時(shí)刻開(kāi)始，分別取出兩路信號在這個(gè)周期內的采樣數據。（如圖3中，signal1從點(diǎn)c~d，signal2從點(diǎn)a~b）。
最后，分別對這兩組采樣數據序列根據式（6）、（1）求出各自的整周期重新采樣數據（插值數據）。
圖4是經(jīng)過(guò)上述過(guò)程后得到的整周期采樣數據（線(xiàn)性插值），圖中截取了一個(gè)周期。
在實(shí)際應用中兩路信號的相位差很小，為了能夠清楚的在圖中畫(huà)出兩路信號的示例，圖3，圖4中取了較大的相位差；兩圖中的信噪比SNR=40db。
4 相位差求取
對兩路不同頻率信號的每個(gè)周期都進(jìn)行128點(diǎn)的快速離散傅里葉變換（DFT），由數學(xué)知識我們知道，假定兩路信號DFT后，基波分量分別為：x1+y1i，x2+y2i，
則：θ1=arctan（y1/x1），θ2=arctan（y2/x2），
那么，Δθ=θ1- θ2。
5 仿真結果
表1給出了在采樣頻率Fs=10kHz下，當信號的頻率變化時(shí)，系統仿真得出的仿真結果。f，Δf分別表示實(shí)際給定頻率、算出的頻率與實(shí)際頻率的差值（表中單位：赫茲）。
表1 仿真結果 Hz
