多聲道超聲氣體流量計的建模與仿真

    在油氣、天然氣等易燃易爆氣體的輸送和分配計量中，利用非介入式高精度超聲流量計是一種有效的測量和計量方式。在單聲道超聲流量計中，流體流速分布是影響測量精度的主要因素^[1]，在流速大于0.3m/s時(shí)，測量誤差可達1%。為了減小甚至避免流速分布的影響，在超聲流量計中采用多聲道超聲波的測量方式，測量誤差小于0.5%。聲道數大于2的超聲流量計稱(chēng)為多聲道流量計，多聲道超聲換能器分布在測量管段的不同流層，通過(guò)對各個(gè)流層測量得到的平均流速進(jìn)行加權求和，計算出瞬時(shí)流速和體積流量。在氣體流量測量中，由于氣體的黏性系數較小，一般處于湍流狀態(tài)。而湍流狀態(tài)在軸線(xiàn)周?chē)�的流態(tài)很復雜，脈動(dòng)現象最為嚴重。在傳統的普朗特的流速分布經(jīng)驗公式中，r=0處的數學(xué)描述不完善。因此在多聲道超聲氣體流量計的設計中，一般不布置過(guò)軸線(xiàn)的聲道。為了很好地反映氣體流速分布的對稱(chēng)特性，多聲道超聲氣體流量計大多采用2，4，6偶數聲道布置方式。多聲道超聲流量計的聲道布置方式有平行、對角和網(wǎng)絡(luò )方式^[2]，在此設計一種適合氣體流量測量的四聲道交叉聲道布置方式的多聲道超聲流量計。本文從數學(xué)建模著(zhù)手，分析其特性，研究其設計方法。

    1 多聲道超聲氣體流量計建模

    1.1 測量管段的結構

    考慮超聲波的傳播效率問(wèn)題，多聲道超聲氣體流量計采用超聲換能器嵌入安裝在測量管段上。交叉四聲道超聲氣體流量計的測量圓管段的結構如圖1所示，四個(gè)聲道分別布置在不同的流層上，聲道之間在y方向上看互相交叉，z方向上看互相平行。測量管段由工作頻率為200~250kHz的超聲換能器對構成四個(gè)聲道的一個(gè)復合傳感器。管徑D=300mm，各個(gè)聲道與軸線(xiàn)方向的夾角φ=60°，如圖2所示。

    1.2 數學(xué)建模

    按照干凈氣體考慮，多聲道超聲氣體流量計采用時(shí)差法工作原理。從z方向（橫截面）看，各個(gè)聲道分布在弦線(xiàn)上，如圖1（b）所示。第i個(gè)弦向聲道沿軸線(xiàn)方向的平均流速，

        （1）

    式中：V_i（r_i）為第i個(gè)弦向聲道沿軸線(xiàn)方向的氣體平均流速測量值；L_i（r_i）為第i個(gè)弦向聲道的聲程，，R為測量管段半徑；r_i為第i個(gè)弦向聲道離軸線(xiàn)的距離；φ為弦向聲道與軸線(xiàn)方向的夾角；t_Ui和t_Di分別為第i個(gè)弦向聲道中超聲波逆流和順流傳播的時(shí)間測量值。

    根據流體流過(guò)截面平均流速（即瞬時(shí)流速）V 的積分公式^[3]為

        （2）

    式中：v（r）為偏離軸線(xiàn)r距離的弦向聲道處的流體流速；S=πR²為測量管段的截面積。

    式（2）可以寫(xiě)成弦向聲道沿軸向平均流速的線(xiàn)積分表達式

       （3）

    式中：D（r）為y方向上r處在橫截面上的弦長(cháng)；V（r）為r處沿軸線(xiàn)方向的平均流速。

    在超聲氣體流量計的計算中，V（r）的取值不可能是連續的，并且微處理器要做積分運算也很困難。因此選擇在測量管段偏離軸線(xiàn)的距離ri（i=1，2，…）位置分布相應的聲道，就構成了多聲道超聲氣體流量計。式（3）的計算可以采用數值積分的方法，得到多聲道超聲氣體流量計流過(guò)截面的平均流速（即瞬時(shí)流速）為

        （4）
   
    式中：r_i在數值積分中即為積分運算中的節點(diǎn)值；W_i為數值積分的加權系數；N為節點(diǎn)數，即為聲道數。

    多聲道超聲氣體流量計體積流量計算公式為

    qv=SV     （5）

    1.3 權系數計算與換能器位置的確定

    將式（3）變換為

        （6）

    假設x＝r/R，即，f（x）=R²（1－x²）^1/2 V（Rx），式（6）寫(xiě)成

        （7）

    式（7）滿(mǎn)足Gauss-Legendre積分的形式和邊界條件，因此有

    為積分余項，即截斷誤差； η∈[-1，1]。

    根據Legendre正交多項式求出其節點(diǎn)數和加權系數，四聲道超聲氣體流量計取N=4，即由4個(gè)高斯節點(diǎn)確定4個(gè)聲道的超聲換能器對在測量管段中的分布位置，見(jiàn)表1。

表1 四聲道分布位置和加權系數

    表1中F_i=R²[1-（r_i/R）²]^1/2 。根據表1中的r_i/R值，計算出各個(gè)聲道的分布位置為：r₁=129.17mm，r₂=51.00mm，r₃=-51.00mm，r₄=-129.17mm。

    2 模型誤差分析

    四聲道超聲氣體流量計流量測量模型為

    測量誤差公式可以寫(xiě)為

    式中：第一項誤差ΔW_i為數值積分的加權誤差，也是上述模型的計算誤差。按照數值積分的截斷誤差余式求出四聲道時(shí)相對誤差最大值為2.978×10^-7，該項誤差不足以影響儀器達到誤差為±（0.50%~0.15%）的計量水平。

    第二、三、四項為幾何因素引起的誤差，幾何因素會(huì )隨環(huán)境溫度和壓力的變化而變化，在測量期間的短時(shí)間內，氣體流體的溫度和壓力的變化極小，可在流量計算中通過(guò)對溫度和壓力引起的測量誤差進(jìn)行修正。流量修正模型為

    Q=Q₀（P/P₀）（T₀/T）（E₀/E），
   
    式中：Q為工況下的氣體流量；Q₀為標況下的氣體流量；P為工況下的氣體絕對靜壓；P₀為標況下的基準壓力，典型值為101.325kPa；T₀為標況下的氣體溫度，典型值為288.15K；T為工況下的氣體絕對溫度；E₀為氣體在標況下的壓縮系數，E為氣體在工況下的壓縮系數。

    第五、六項Δt_Ui和Δt_Di的來(lái)源包括兩部分。實(shí)際每個(gè)聲道的測量時(shí)間T_Ui=t_Ui+t_d+t_t，t_d是超聲波在非被測介質(zhì)中的傳播時(shí)間和電路的延遲時(shí)間之和，t_t是超聲換能器電一聲、聲一電轉換的時(shí)間和，t_d和t_t是相對固定的時(shí)間，可以進(jìn)行修正處理；利用CPLD或最新計時(shí)電路芯片計時(shí)可以達到ns級的測量精度^[4]，因此電路方面引起Δt_Ui和Δt_Di的誤差也不足影響流量計達到±（0.50%~0.15%）的測量精度。

    根據上面的分析，研究模型的測量誤差時(shí)，主要考慮氣體流態(tài)的復雜性引起的測量誤差。因為超聲波在流體介質(zhì)中的傳播速度短時(shí)間內變化甚小，可以忽略不計，式（1）中聲速及其變化量在順流和逆流中互相抵消，所以主要研究式（5）受流速分布方面的影響。

    3 仿真分析與結論

    模型的仿真研究主要考慮氣體在湍流狀態(tài)下流速分布對模型測量誤差的影響，由Matlab計算仿真完成。根據普朗特的流速分布公式，有

    V_i（r_i）=V_m（1+|r_i| /R）^1/n，

    式中：V_m為流場(chǎng)剖面上的最大流速值；n為流速分布指數，

    已知管道平均流速V_T，可以推導出

    V_m=（2n+1）（n+1）V_T/（2n²），     （9）

    再根據式（9）計算得到V_i（r_i）及流量計算值Q，仿真計算出流量的相對誤差

    dQ/Q_T=[（Q-Q_T）/Q_T]×100%，

    式中Q_T=（πD²/4）V_T。

    工業(yè)氣體流速一般范圍在0.5~30.0m/s，對于新測量管段（K_r=0.5μm），在湍流狀態(tài)下（Re≥4000），仿真得到的流量相對誤差不大于0.1%，如圖3所示。

    仿真分析表明，上述模型完全能達到油氣、天然氣等易燃易爆氣體流量±（0.50%~0.15%）的計量水平。

    多聲道超聲氣體流量計從結構上解決了流速分布不均勻所引起測量誤差的問(wèn)題，從方法上通過(guò)數值積分提高了測量精度，它不受測量管徑的影響，解決了單聲道超聲流量計在大管徑流量測量中測量誤差較大的問(wèn)題。根據數值積分中節點(diǎn)數的求解，很容易確定聲道的分布位置，為多聲道氣體流量計測量管段的設計與流量計的研制提供易行的方法。

    參考文獻

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